L’objectif de cet article est de te donner toutes les clés afin d’aborder de la meilleure des façons les exercices comportant des sommes de Riemann. Une notion qui a pu tomber à plusieurs reprises aux concours et qui est au programme des maths approfondies, mais hors programme pour les maths appliquées.
Définition et propriétés des sommes de Riemann
Soit \(f\) une fonction continue sur l’intervalle \([a,b].\)
On appelle « sommes de Riemann associées à \(f\) » les sommes :
\[S_{n}(f) = \displaystyle \sum_{k=1}^{n}\displaystyle \left(\frac{b-a}{n}\right)f\left(a+k\displaystyle \frac{b-a}{n}\right)\] \[S_{n-1}(f) = \displaystyle \sum_{k=0}^{n-1}\displaystyle \left(\frac{b-a}{n}\right) f\left(a+k\displaystyle \frac{b-a}{n} \right)\]
Dès lors :
\[\lim \limits_{n \to +\infty} S_{n}(f) = \displaystyle \sum_{k=1}^{n}\displaystyle \left(\frac{b-a}{n}\right)f\left(a+k\displaystyle \frac{b-a}{n}\right) = \lim \limits_{n \to +\infty}S_{n-1}(f) = \displaystyle \sum_{k=0}^{n-1}\displaystyle \left(\frac{b-a}{n}\right)f\left(a+k\displaystyle \frac{b-a}{n}\right) =\displaystyle \int_{a}^{b} f(t) \,\mathrm{d}t.\]
Le piège, ici, c’est d’oublier la condition de continuité pour \(f :\) afin d’avoir une rédaction rigoureuse lorsque tu travailles avec une somme de Riemann, il faut absolument que tu mettes en évidence que \(f\) est continue sur le segment \([a,b].\)
Comment comprendre d’où viennent les sommes de Riemann ?
Le résultat associé aux sommes de Riemann débouche en réalité de la méthode des rectangles. L’idée est ainsi de calculer l’aire d’une surface grâce à un procédé limite, en considérant un nombre toujours plus grand de rectangles, dont l’aire est plus facile à calculer.
Pour approfondir cela, je te laisse consulter cet article sur la méthode des rectangles.
Cas particulier a = 0 et b = 1
Si le cas général doit être connu, on a souvent tendance à se rappeler du cas particulier, où a=0 et b=1.
Soit \(f\) une fonction continue sur l’intervalle \([0,1].\)
Alors, on a :
\[\lim \limits_{n \to +\infty} (S_{n}(f) = \displaystyle \sum_{k=1}^{n}\displaystyle \frac{1}{n}f\left(\displaystyle \frac{k}{n}\right)
= \lim \limits_{n \to +\infty}S_{n-1}(f) = \displaystyle \sum_{k=0}^{n-1}\displaystyle \frac{1}{n}f\left(\displaystyle \frac{k}{n}\right) =\displaystyle \int_{0}^{1} f(t) \,\mathrm{d}t.\]
Démonstration d’un cas particulier des sommes de Riemann
Je te propose maintenant de démontrer ce résultat dans le cas où \(f\) est de classe \(C^1\) sur l’intervalle \([a,b]:\) si ce résultat est moins « puissant » que dans le cas où \(f\) est continue sur \([a,b],\) la démonstration est très intéressante, car elle fait appel à plusieurs notions clés des mathématiques en ECG.
Soit \(f\) une fonction de classe \(C^1\) sur l’intervalle \([a,b].\) Pour tout entier \(n\ge1\)et \(\forall k\in[\![1,n]\!],\) on pose :
\(a_{k} = a+k\displaystyle \left(\frac{b-a}{n}\right).\)\(\forall n \in \mathbb{N}^{*},\) on a :
\(\left|\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\displaystyle \left(\frac{b-a}{n}\right)f\left(a+k\displaystyle \frac{b-a}{n}\right) -\displaystyle \int_{a}^{b} f(t) \,\mathrm{d}t\right|=\left|\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\left(\displaystyle \left(\frac{b-a}{n}\right)f(a_{k}) – \displaystyle \int_{a_{k-1}}^{a_{k}} f(t) \,\mathrm{d}t\right)\right| = \left|\displaystyle \sum_{k=1}^{n}(\displaystyle \int_{a_{k-1}}^{a_{k}} f(a_{k}) \,\mathrm{d}t) – \displaystyle \int_{a_{k-1}}^{a_{k}} f(t) \,\mathrm{d}t)\right|\)
=\( \left|\displaystyle \sum_{k=1}^{n}(\displaystyle \int_{a_{k-1}}^{a_{k}} (f(a_{k}) – f(t)) \,\mathrm{d}t)\right|\le \displaystyle\sum_{k=1}^{n}\displaystyle \int_{a_{k-1}}^{a_{k}} \left|f(a_{k})-f(t)\right|\mathrm{d}t\)
en utilisant successivement la relation de Chasles, le fait que \(a_{k}-a_{k-1}=\displaystyle \left(\frac{b-a}{n}\right),\) la linéarité de l’intégration et enfin l’inégalité triangulaire.
Comme f est de classe \(C^1\) sur \([a,b],\)\(f\) est de classe \(C^1\) sur chaque intervalle \([a_{k-1},a_{k}]:\) nous allons donc appliquer l’inégalité de Taylor-Lagrange à \(f\) sur l’intervalle \([t,a_{k}]\) à l’ordre \(0,\)avec \(t\in [a_{k-1},a_{k}]:\)
\(\left|\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\displaystyle \left(\frac{b-a}{n}\right)f\left(a+k\displaystyle \frac{b-a}{n}\right) -\displaystyle \int_{a}^{b} f(t) \,\mathrm{d}t\right|
\le \displaystyle\sum_{k=1}^{n}\displaystyle \int_{a_{k-1}}^{a_{k}} \left|f(a_{k})-f(t)\right|\mathrm{d}t \le \displaystyle\sum_{k=1}^{n}\displaystyle \int_{a_{k-1}}^{a_{k}} \left|a_{k}-t\right|\left(\sup_{[t,a_{k}]}|f^{(1)}|\right)\mathrm{d}t\)
\( \le \displaystyle\sum_{k=1}^{n}\displaystyle \int_{a_{k-1}}^{a_{k}} \left|a_{k}-t\right|\left(\sup_{[a,b]}|f^{(1)}|\right)\mathrm{d}t
\le \left(\sup_{[a,b]}|f^{(1)}|\right) \displaystyle\sum_{k=1}^{n}\displaystyle \int_{a_{k-1}}^{a_{k}} \left|a_{k}-t\right|\mathrm{d}t\)
Ici, on intègre et on fait apparaître une identité remarquable, puis on se rappelle que \(a_{k} = a+k\displaystyle \frac{b-a}{n}:\)
\(= \left(\sup_{[a,b]}|f^{(1)}|\right) \displaystyle\sum_{k=1}^{n}\displaystyle \frac{(a_{k}-a_{k-1})^2}{2}
= \left(\sup_{[a,b]}|f^{(1)}|\right) \displaystyle \frac{(b-a)^2}{2n^2}n
= \left(\sup_{[a,b]}|f^{(1)}|\right) \displaystyle \frac{(b-a)^2}{2n} \underset{n\to+\infty}\longrightarrow 0 \)
Ainsi, par théorème de comparaison, on obtient bien que si \(f\) est de classe \(C^1\) sur l’intervalle \([a,b], \) alors :
\[\lim \limits_{n \to +\infty} S_{n}(f) = \displaystyle \sum_{k=1}^{n}\displaystyle \left(\frac{b-a}{n}\right)f\left(a+k\displaystyle \frac{b-a}{n}\right) = \displaystyle \int_{a}^{b} f(t) \,\mathrm{d}t.\]
Exemples classiques
Maintenant que l’on sait ce que sont les sommes de Riemann et comment cela fonctionne, tout l’enjeu va être de réussir à identifier correctement les fonctions associées à ces sommes.
Je te propose ainsi deux exemples assez classiques.
Premier exemple
Quelle est \(\lim \limits_{n \to +\infty}\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\displaystyle \frac{n}{n^2+k^2} ?\)
Ici, on ne reconnaît pas forcément au premier coup d’œil une somme de Riemann, il va donc falloir la faire apparaître.
Ainsi, on a :
\(\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\displaystyle \left(\frac{n}{n^2+k^2}\right) = \displaystyle \sum_{k=1}^{n}\displaystyle \frac{n}{n^2\left(1 +\displaystyle \left(\frac{k^2}{n^2}\right)\right)} = \displaystyle \frac{1}{n}\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\displaystyle \frac{1}{1 + \displaystyle \left(\frac{k}{n}\right)^2} = \displaystyle \frac{1}{n}\displaystyle \sum_{k=1}^{n}f\left(\displaystyle \frac{k}{n}\right)\)
avec \(f : x \mapsto\displaystyle \frac{1}{1+x^2}\) qui est bien une fonction continue sur l’intervalle \([0,1].\)
Dès lors, par définition d’une somme de Riemann, \(\lim \limits_{n \to +\infty}\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\displaystyle \frac{n}{n^2+k^2} =\displaystyle \int_{0}^{1}\displaystyle \frac{1}{1+x^2} \,\mathrm{d}x = \displaystyle[\arctan(x)] _{0}^{1} = \arctan(1) – \arctan(0) =\displaystyle \frac{\pi}{4}\)
Second exemple
Quelle est \(\lim \limits_{n \to +\infty}\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\displaystyle \frac{k}{n^2+k^2} ?\)
Tout comme pour le premier exemple, on va essayer de faire apparaître notre somme de Riemann de la façon suivante :
\(\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\displaystyle \frac{k}{n^2+k^2} = \displaystyle \sum_{k=1}^{n}\displaystyle \frac{n\left(\displaystyle \frac{k}{n}\right)}{n^2+k^2} = \displaystyle \sum_{k=1}^{n}\displaystyle \frac{n\left(\displaystyle \frac{k}{n}\right)}{n^2\left(1+\displaystyle \frac{k^2}{n^2}\right)} = \displaystyle \frac{1}{n}\displaystyle \sum_{k=1}^{n} f\left(\displaystyle \frac{k}{n}\right)\)avec \(f : x \mapsto\displaystyle \frac{x}{1 + x^2}\) continue sur \([0,1].\)
=\(\displaystyle \int_{0}^{1}\displaystyle \frac{x}{1+x^2} \,\mathrm{d}x = \displaystyle \int_{0}^{1}\displaystyle \frac{1}{2}\displaystyle \frac{2x}{1+x^2} \,\mathrm{d}x = \displaystyle[\displaystyle \frac{1}{2}\ln(|1+x^2|)] _{0}^{1} = \displaystyle \frac{1}{2}\ln(2)\)
Conclusion
La notion de somme de Riemann est déjà tombée aux concours, que ce soit pour les maths approfondies (exo 1 de Maths Ecricome 1993 Appro) ou bien les maths appliquées (problème de Maths EDHEC 2008 Appli et Maths I 2022 Appli).
N’hésite pas à consulter tous nos articles de mathématiques !
