Les exercices de niveau EDHEC-EM sont souvent des exercices types. Dans un tel sujet, tu sais que tu auras forcément un exercice pour chaque partie du programme (analyse, algèbre, probabilités). Et pour chacun de ces thèmes, il y a, grosso modo, deux types d’exercices à connaître à chaque fois.
Dans cet article, je vais passer en revue les deux exercices les plus classiques de l’algèbre type emlyon-EDHEC. Tu trouveras chaque fois un lien avec une annale corrigée et quelques astuces pour résoudre la question et mieux rédiger la réponse !
Soit \(n \in \mathbb N^*\).
1) Coefficients de la puissance \(n\)ième d’une matrice diagonalisable
C’est l’exercice le plus récurrent dans les exercices d’algèbre. Tu pourras le retrouver dans l’exercice 1 du sujet EM 2007 voie ECE (sujet et corrigé).
Cet exercice se présente toujours en trois temps, une fois qu’on t’a donné une matrice \(A \in \mathcal{M}_{p}(\mathbb{R})\). D’abord, tu montres qu’elle est diagonalisable. Ensuite, tu trouves une matrice de passage \(P\) vers une base où \(A\) sera diagonale – tu appelleras \(D\) la matrice diagonale semblable à \(A\). Enfin, tu calculeras les coefficients de \(D^{n}\), et avec la formule du changement de base, tu trouveras les coefficients de \(A^{n}\).
A) Trouver une base où \(A\) est diagonale
Tu dois commencer par prouver que \(A\) est diagonalisable. Pour cela, tu as deux solutions.
Soit A est symétrique et il suffira de le dire pour achever ta preuve, soit tu dois déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres de A. Tu sais, d’après la caractérisation du cours, que \(A\) sera diagonalisable si et seulement si la somme des dimensions des sous-espaces propres vaut \(n\). Dans l’exercice EM 2007, A est symétrique, donc la réponse à la question 1 est presque immédiate 🙂
Ensuite, si ce n’est pas déjà fait, tu dois déterminer les valeurs propres de A et des vecteurs propres associés. Ici, le vecteur colonne \( \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\) est vecteur propre associé à la valeur propre \(1\). Comme la matrice \(A+\frac{1}{2}.I_3\) est de rang 1, on en déduit que \(-\frac{1}{2}\) est valeur propre de A et le sous-espace propre associé est de dimension 2.
Dans cette question, on te donne les deux premiers chiffres des deux vecteurs de la base de ce sous-espace. Tu dois donc trouver le troisième chiffre, en résolvant un système d’équations. Tu trouveras donc les vecteurs \( \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}\) et \( \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}\).
Remarque : si tu ne trouves pas directement les valeurs propres et les vecteurs propres, tu devras résoudre le système d’équations
\((A-\alpha I )\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\).
Ici, on a donc directement :
\[P= \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ -1 & 1 &0 \\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix}\]
Donc, par la méthode de Gauss-Jordan, tu trouves aussi :
\[P^{-1}= \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & -2 &1 \\ 1 & 1 & -2 \end{pmatrix}\]
Donc, enfin, avec la formule du changement de base :
\[D=P^{-1}AP = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}\]
Voilà la réponse à la question 2 🙂
B) Calculer les coefficients de \(D^{n}\), puis de\(A^{n}\)
Cette étape est immédiate, puisqu’il suffit de mettre chaque coefficient de diagonale de D à la puissance n. Ensuite, on sait que :
[\A^{n}=PD^{n}P^{−1}\] (cette formule peut être démontrée par récurrence, éventuellement immédiate).
Et donc, puisque tu connais les coefficients de \(P\), de \(P^{-1}\) et de \(D^{n}\), tu pourras trouver les coefficients de \(A^{n}\).
2) Montrer qu’une application est un automorphisme
Pour ce type de question, tu peux te référer à la partie 1 du problème EDHEC 2009 ECE (sujet et corrigé).
On te donne une application \(f\) d’un espace vectoriel E de dimension finie et une base \(mathcal{B}=(e_1, e_2, e_3)\) de 3. Et l’objet de l’exercice est de montrer que \(f\) est bijectif et d’en déterminer une réciproque. D’abord, la question basique consiste à montrer que f est une application linéaire (voire un endomorphisme). Tu dois donc montrer que, pour tout réel \(\lambda\) et pour tous vecteurs \(x,y\) de l’espace de départ, on a \(f(\lambda x + y) = \lambda f(x) + f(y)\), et éventuellement montrer que \(f(\lambda x + y) \in E\).
A) En passant par la matrice représentative de \(f\) en base \(\mathcal{B}\)
Ensuite, tu dois trouver la matrice de \(f\) dans la base \(\mathcal{B}\), en exprimant les vecteurs \(f(e_1)\), \(f(e_2)\) et \(f(e_3)\) dans la base \(\mathcal{B}\). Tu mettras ces coordonnées en colonne dans une matrice \(3 \times 3\). Pour montrer que f est un endomorphisme, il faut et il suffit de montrer que cette matrice est inversible, donc que ses vecteurs colonnes forment une famille libre.
B) Avec l’aide du théorème du rang
Comme tu es dans un espace de dimension finie, le corollaire du théorème du rang t’assure que \(f\) est bijectif si et seulement s’il est injectif (ou surjectif). Il te suffira donc de montrer que \(Ker(f)={{0_E}}\), ou que la famille \((f(e_1),f(e_2),f(e_3))\) est libre, donc forme une base de \(E\).
C) Calculer la réciproque de \(f\)
On ne te demandera pas (ou rarement) de calculer la formule de la réciproque de \(f\). Tu devras plutôt calculer l’inverse de la matrice de \(f\) en base \(\mathcal{B}\). Pour cela, il faudra utiliser la méthode de Gauss-Jordan, en liant chaque ligne du calcul avec le symbole « \(\Leftrightarrow\) ».
Si tu veux découvrir d’autres articles sur l’algèbre linéaire, tu peux lire cet article sur l’encadrement de Rayleigh, une autre question classique d’algèbre linéaire, ou alors celui-ci.
