En plus des fonctions trigonométriques classiques qui sont au programme, il en existe d’autres qui tombent parfois aux concours, comme les fonctions sinh (ou sh) et cosh (ou ch). Dans cet article, tu trouveras des astuces sur ces deux fonctions, qui sont tombées l’année dernière dans le sujet EDHEC 2022.
Les fonctions dites hyperboliques
Sans répéter l’article concernant les fonctions trigonométriques (qui sont hors programme ECG), voici tout d’abord les bases à connaître sur ces deux fonctions.
Le cosinus hyperbolique
Le cosinus hyperbolique est la partie paire de la fonction exponentielle. Il est noté \(ch\) et est défini par
\(\displaystyle ch(x)=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}\)
La fonction cosh (ou ch) est une application de ℝ dans [1, +∞[ strictement croissante sur ℝ+, et paire. La fonction cosh est de classe C∞ sur ℝ et sa dérivée est le sinus hyperbolique.
Le sinus hyperbolique
Le sinus hyperbolique est la partie impaire de la fonction exponentielle. Il est noté \(sh\) et est défini par
\(\displaystyle sh(x)=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}\)
La fonction sinh (ou sh) est une bijection de classe C∞ de ℝ sur ℝ strictement croissante et impaire. Sa dérivée est le cosinus hyperbolique.
Démonstrations de résultats classiques
Une fois les fonctions bien définies, passons à la réponse de questions classiques.
Parité
- La fonction \(ch\) est paire
En effet, \(\displaystyle \forall x \in \mathbb{R}, -x \in \mathbb{R}\) et \(\displaystyle \forall x \in \mathbb{R}, ch(-x)=\frac{e^{-x}+e^{x}}{2}=ch(x)\)
Donc, \[ \fbox{ ch est paire }\]
- La fonction \(sh\) est impaire
En effet, \(\displaystyle \forall x \in \mathbb{R}, -x \in \mathbb{R}\) et \(\displaystyle \forall x \in \mathbb{R}, sh(-x)=\frac{e^{-x}-e^{x}}{2}=-sh(x)\)
Donc, \[ \fbox{ sh est impaire }\]
Dérivées
- La dérivée de \(ch\) est \(sh\)
En effet, la fonction \(ch\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et \(\forall x \in \mathbb{R}\), on a :
\(\displaystyle ch'(x)=\frac{e^{x}+(-e^{-x})}{2}=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}=sh(x)\)
- La dérivée de \(sh\) est \(ch\)
En effet, a fonction \(sh\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et \(\forall x \in \mathbb{R}\), on a :
\(\displaystyle sh'(x)=\frac{e^{x}-(-e^{-x})}{2}=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}=ch(x)\)
Variations
- La fonction \(ch\) est décroissante sur \(\mathbb{R}^{-}\) et croissante sur \(\mathbb{R}^{+}\)
Le domaine d’étude de la fonction \(ch\) se réduit à [0, +∞[ puisqu’il s’agit d’une fonction paire.
\(\displaystyle \forall x \in \mathbb{R}, ch'(x)=sh(x)\ge 0\),
donc la fonction \(ch\) est croissante sur [0, +∞[ et ainsi par parité, décroissante sur ]\(-\infty,0]\)
De plus, \(ch(0)=1 \) et \(\lim \limits_{x \to +\infty} ch(x)=+\infty\)
D’où le tableau de variation suivant :
- La fonction \(sh\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\)
Il suffit de l’étudier sur [0, +∞[ puisqu’il s’agit d’une fonction impaire. La dérivée de \(sh\) est \(ch\) et on a vu que \(ch x > 0\) pour tout x ∈\(\mathbb{R}\), donc \(sh\) est strictement croissante.
D’où le tableau de variation suivant :
Bijections réciproques
- La fonction \(ch\) est continue et strictement croissante sur [0, +∞[, elle réalise donc une bijection de cet intervalle sur son image [1, +∞[ et on peut définir son application réciproque.
On appelle fonction argument cosinus hyperbolique, et on note \(argch\) la fonction
\(argch : \begin{cases} [1, +∞[ \to [0, +∞[, \\
x \mapsto argch(x) \end{cases}\)
l’application réciproque de la restriction de la fonction cosinus hyperbolique à l’intervalle [0, +∞[
Calculons l’expression de \(argch\)
\(\forall x \ge 1\), on résout l’équation \(\displaystyle y=ch(x) \Leftrightarrow y= \frac{e^x+e^{-x}}{2} \Leftrightarrow 2y=e^{x}+e^{-x} (e^{x})^{2}-2ye^{x}+1=0\) en multipliant par \(e^{x}\)
D’où :
\(\displaystyle y=ch(x)\Leftrightarrow\begin{cases} X=e^{x} \\X^{2}-2yX+1=0 \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases} \displaystyle X=e^{x} \\X=\frac{2y\pm\sqrt{4y^{2}-4}}{2}=y\pm\sqrt{y^{2}-1}\end{cases}\)
Or, \(\displaystyle y-\sqrt{y^{2}-1}\le 0\) donc la seule solution possible est \(\displaystyle X=y+\sqrt{y^{2}-1}\)
Finalement, on a :
\(\displaystyle y=ch(x)\Leftrightarrow x=\ln(y+\sqrt{y^{2}-1})\)
Ce qui signifie que :
\[ \fbox{\( \displaystyle argch(y)=\ln(y)+\sqrt{y^{2}-1}\)}\]
- La fonction \(sh\) est continue et strictement croissante sur R, elle réalise donc une bijection de cet intervalle sur son image R et on peut définir son application réciproque.
On appelle fonction argument sinus hyperbolique et on note \(argsh\) la fonction
\(argsh : \begin{cases} R \to R, \\
x \mapsto argsh(x) \end{cases}\)
l’application réciproque de la fonction sinus hyperbolique.
Calculons l’expression de \(argsh\)
\(\forall x \ge 1\), on résout l’équation \(\displaystyle y=sh(x) \Leftrightarrow y= \frac{e^{x}-e^{-x}}{2} \Leftrightarrow 2y=e^{x}-e^{-x} (e^{x})^{2}-2ye^{x}-1=0\) en multipliant par \(e^{x}\)
D’où :
\(
y=ch(x)
\Leftrightarrow
\begin{cases} X=e^{x} \\
X^{2} -2yX-1=0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} X=e^{x} \\ X=\displaystyle \frac{2y\pm\sqrt{4y^{2}+4}}{2}=y\pm\sqrt{y^{2}+1} \end{cases}\)
Or, \(\displaystyle y-\sqrt{y^{2}+1}\le 0\) donc la seule solution possible est \(\displaystyle X=y+\sqrt{y^{2}+1}\)
Finalement, on a :
\(
y=sh(x)
\Leftrightarrow
x=\ln(y+\sqrt{y^{2}+1})\)
Ce qui signifie que :
\[ \fbox{\( \displaystyle argsh(y)=\ln(y)+\sqrt{y^{2}+1}\)}\]
Équivalent
Un résultat classique à savoir démontrer est l’équivalent : \(sh(x) \underset{0}{\sim}x\)
D’après le cours :
\(e^{x}\underset{0}{=} 1+x+o(x)\)
et \(e^{-x}\underset{0}{=} 1-x+o(x)\)
Donc :
\(\displaystyle \frac{e^{x}-e^{-x}}{2}\underset{0}{=} x+o(x) \)
donc \(\displaystyle \frac{e^{x}-e^{-x}}{2x}\underset{0}{=} 1+o(1)\)
D’où \(\displaystyle \lim \limits_{x\to 0}\frac{e^{x}-e^{-x}}{2x}=1 \)
D’où \(\displaystyle \lim \limits_{x\to 0}\frac{\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}}{x}=1 \)
Donc, finalement, on a : \[ \fbox{\( \displaystyle sh(x) \underset{0}{\sim}x \)}\]
Propriétés
Un résultat classique à savoir démontrer est l’égalité : \(\forall x \in \mathbb{R}, ch^{2}(x)-sh^{2}(x)=1\)
En effet, \(\displaystyle \forall x \in \mathbb{R}, ch^{2}(x)-sh^{2}(x)=(\frac{e^{x}+e^{-x}}{2})^{2}-(\frac{e^{x}-e^{-x}}{2})^{2}=\frac{(e^{x})^{2}+2e^{x}e^{-x}+(e^{-x})^{2}}{4}-\frac{(e^{x})^{2}-2e^{x}e^{-x}+(e^{-x})^{2}}{4}=\frac{4e^{x}e^{-x}}{4}=1\)
D’où, finalement, \[ \fbox{\( \displaystyle \forall x \in \mathbb{R}, ch^{2}(x)-sh^{2}(x)=1\)}\]
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