Si tu as des copies d’élèves ayant bien réussi les épreuves de maths, tu as peut-être été surpris(e) de lire une « récurrence immédiate » ou un « raisonnement trivial » comme réponse à certaines questions. Alors, culotté ou pas ? Je t’explique tout cela, mais d’abord, petits rappels sur la récurrence !
Le raisonnement par récurrence simple
Le raisonnement par récurrence est une méthode de démonstration utilisée en mathématiques pour prouver qu’une affirmation est vraie pour tous les entiers naturels. On procède en deux étapes : initialisation, puis récurrence.
Lors de l’initialisation, tu dois montrer que l’affirmation que tu veux prouver est vraie pour le plus petit entier naturel possible. En général, pour \(n = 0\) ou \(n = 1\), selon ce qui est approprié. Si l’affirmation est vraie pour cet entier de base, alors tu as établi la première étape de la récurrence.
Tu dois ensuite montrer que si l’affirmation est vraie pour un certain entier naturel (disons \(k\)), alors elle doit également être vraie pour l’entier suivant (\(k + 1\)). C’est l’hypothèse de récurrence. Tu peux ainsi vérifier l’affirmation pour tous les entiers naturels en allant de \(k\) à \(k+1\), de \(k+1\) à \(k+2\), et ainsi de suite.
Tu peux finalement conclure en combinant l’étape d’initialisation (où tu as montré que l’affirmation est vraie pour un entier donné) et l’étape de récurrence (où tu as montré que si elle est vraie pour k, alors elle l’est aussi pour k+1). Tu trouveras également les récurrences à montée finie, les récurrences descendantes, etc.
Autres récurrences
Après avoir compris comment fonctionne la récurrence simple, il est assez facile de comprendre les autres modèles.
On parle de récurrence double lorsque, pour montrer que \(P_{n+1}\) est vraie, on doit s’appuyer sur \(P_{n}\) et \(P_{n-1}\) . Il faut alors penser, lors de l’initialisation, à vérifier P pour deux entiers consécutifs.
Il existe également des récurrences fortes où l’on doit supposer pour montrer \(P_{n+1}\) que l’affirmation \(P_{k}\) est vraie pour tout \(k \in [\![a,n]\!]\) (où \(a\) est le plus petit entier vérifiant la propriété).
Quand peut-on s’autoriser à répondre par « récurrence immédiate » ?
Je vais te donner plusieurs conseils pour savoir quand utiliser l’expression. N’oublie pas que lorsque tu t’entraînes chez toi avec des annales ou des exercices donnés par ton professeur, il vaut mieux rédiger. Ça t’évitera de paniquer lorsque tu devras refaire une belle récurrence en réponse à une question qui le demandera explicitement.
Regarde ici comment bien rédiger une récurrence.
Récurrence simple uniquement
Tout d’abord, si j’ai distingué les différents types de récurrences, c’est pour une bonne raison ! Sache déjà que la « récurrence immédiate » ne concerne que la récurrence simple. Dans les autres cas, il y a davantage de calculs ou de choses à vérifier…
Les sujets EDHEC et EM Lyon
Les annales EDHEC et EM Lyon sont d’un niveau plus simple et peuvent être finies par les candidats. Écrire « récurrence immédiate » sur ta copie peut certes te faire gagner du temps, mais cela te fera perdre des points sur la question. Tu risques par ailleurs d’agacer le correcteur qui pourrait penser que tu ne prends pas l’épreuve assez au sérieux… Enfin bref, évite !
Les sujets de Parisiennes
C’est ici que la « récurrence immédiate » est utile. Il faut cependant faire preuve d’un peu de jugeote et ne pas user de la formule à tort et à travers. Rappelle-toi toujours que tu risques de perdre des points sur la question. Si tu ne penses pas pouvoir répondre à beaucoup de questions, rédige la récurrence en entier. Sinon, ce risque peut s’avérer gagnant.
En début de sujet, fais l’effort de rédiger la récurrence. Là encore, il s’agit de brosser le correcteur dans le sens du poil. On montre que l’on sait faire une récurrence et que l’on prend l’épreuve au sérieux.
Ensuite, cela dépend de ta stratégie. Certains privilégient la qualité sur leur copie et rédigent parfaitement toutes les questions, d’autres (comme moi, ha ha) privilégient la quantité et ont pour but de couvrir un maximum du sujet. On peut utiliser une « récurrence immédiate » pour admettre une conjecture que l’on pose. Je m’explique… Dans certaines questions le plus dur est de conjecturer, la preuve est ensuite très facile à faire par récurrence et on peut estimer qu’elle n’apporterait rien à la copie.
La « récurrence immédiate » peut aussi servir à couvrir des questions qui te paraissent logiques, comme de montrer que dans une suite de matrice du type \(M_{n+1}=AM_n\), tout terme \(M_n\) est égal à \(A^nM_0\). Après tout, on ne fait qu’imiter le modèle d’une suite géométrique…
Dans cet article, tu trouveras nos conseils pour faire une bonne conjecture.
Ce que tu as pu lire n’engage que moi. Malheureusement, il n’y a rien d’officiel quant à l’utilisation de l’expression « récurrence immédiate ». Mais cela reste très utile et fait gagner de (très) précieuses minutes dans certaines épreuves. À toi de juger !
Ce que tu dois retenir finalement
- Une récurrence immédiate est une formulation pour dire qu’il aurait fallu montrer une relation par récurrence en la rédigeant, mais celle-ci étant tellement simple et évidente, tu te permets de ne pas la rédiger pour gagner du temps. Et au lieu de ça, tu écris « par récurrence immédiate ».
- Si la première question du sujet est une récurrence, la faire, même si elle est évidente pour montrer au correcteur que tu sais rédiger n’importe quelle récurrence. Toutes les récurrences évidentes dans la suite du sujet pourront être rédigées par récurrence immédiate.
- À partir du moment où une récurrence n’est plus évidente ni triviale, ne jamais la montrer par récurrence immédiate.
Tu peux retrouver toutes nos ressources de mathématiques ici.
