L’optimisation, voilà une notion du programme de maths approfondies de prépa ECG qui fait peur à tous les préparationnaires ! Pourtant, malgré la mauvaise réputation qu’elle traîne, l’optimisation s’avère être l’un des points du programme les plus facilement résumables. En effet, les cas de figure sont peu nombreux, et dans la majorité des cas, les exercices se ressemblent. La plupart du temps, une fois que l’on a déterminé de quel type d’optimisation il s’agit, on peut appliquer la même méthode.
Je te propose donc de faire rapidement le tour de ces différents cas que tu pourrais rencontrer. Attention, cet article est uniquement compatible pour les maths approfondies. Les méthodes restent valables pour les maths appliquées seulement pour le cas particulier \(n=2\).
Quelques précisions
Hors des limites du programme, l’optimisation est un domaine très complexe des mathématiques. Heureusement pour nous, énormément de points sont admis dans le programme d’ECG.
Dans un exercice du concours, on ne pourra jamais te demander (mis à part dans le légendaire sujet de maths 1 HEC 2010, dont tu pourras trouver le sujet ici) de déterminer la nature topologique d’une partie de \(\mathbb{R}^{n}\). C’est-à-dire déterminer si cette partie est un ouvert ou un fermé de \(\mathbb{R}^{n}\), alors même que la méthode d’optimisation en dépend.
De même, les fonctions que tu étudieras seront quasi systématiquement \(C^2\), ce qui facilitera considérablement la recherche d’extremums. Nous travaillerons donc dans tout cet article avec une fonction \(f\) qui est \(C^2\) sur une partie \(\Omega\) de \(\mathbb{R}^{n}\). Dans une copie, il faudrait bien entendu justifier que \(f\) est \(C^2\).
Optimisation sur un ouvert
Considérons que \(\Omega\) est un ouvert. Le cours assure que \(f\) ne peut posséder un extremum en \(a\) de \(\Omega\) que si \(\nabla(f)(a)=0\), soit si \(a\) est un point critique de \(f\). On parle de condition nécessaire d’extremum.
Cette condition permet de restreindre considérablement la recherche des extremums potentiels. En effet, \(\nabla(f)(a)=0\) forme un système à \(n\) équations, qui permettra de distinguer un ou plusieurs éléments de \(\Omega\) comme extremums potentiels.
Méthode 1 : recherche d’extremums locaux sur un ouvert
Une méthode classique de recherche d’extremums sur un ouvert consiste donc dans un premier temps à calculer le gradient de \(f\) en \(a\), puis à résoudre le système \(\nabla(f)(a)=0\).
Une fois ce système résolu, on a donc trouvé les vecteurs \(a\) qui sont des extremums locaux potentiels. Dans un deuxième temps, on peut déterminer la matrice hessienne de \(f\) en ces points \(a\), notée \(\nabla^{2}(f)(a)\).
Le cours nous permet en effet de déterminer si un point critique \(a\) de \(f\) est un extremum local en étudiant le signe de la forme quadratique associée à \(\nabla^{2}(f)(a)\), que l’on notera \(q_a\). C’est encore une fois une condition suffisante :
- si \(\forall x \in \mathbb{R}^{n}, q_a(x)<0\), alors \(f\) présente un maximum local en \(a\) ;
- si \(\forall x \in \mathbb{R}^{n}, q_a(x)>0\), alors \(f\) présente un minimum local en \(a\) ;
- si \(q_a\) change de signe sur \(\mathbb{R}^{n}\), \(f\) ne présente pas d’extremums en \(a\).
Voilà, tu sais donc désormais étudier des extremums locaux sur un ouvert !
Méthode 2 : recherche d’extremums globaux sur un ouvert (méthode de la formule de Taylor-Lagrange)
En revanche, si tu cherches à déterminer un extremum global sur \(\Omega\), la méthode est différente. Une fois que tu as trouvé un point critique \(a\) de \(f\), tu dois chercher à déterminer le signe de \(f(a)-f(a+h)\), où \(h\) est un vecteur de \(\mathbb{R}^{n}\) tel que \(a+h\in \Omega\).
Tu peux le faire par le calcul, ce qui peut être long et pénible. Ou alors, tu peux utiliser une astuce qui est certes un peu compliquée dans les concepts, mais peut te faire gagner énormément de temps. Dès lors que tu sais qu’en tout point \(x\) de \(\Omega\), la forme quadratique associée à la hessienne de \(f\) en \(x\) notée \(q_x\) est positive (respectivement négative).
Cette astuce consiste à appliquer la formule de Taylor-Lagrange avec reste intégral à l’ordre \(1\) entre \(0\) et \(1\), la fonction à une variable g définie par \(\forall t \in \mathbb{R} , g(t)= f(a+th)\).
Cette fonction est en effet \(C^2\) sur \([0,1]\) (c’est admis par le cours) et on a, toujours d’après le cours (sur les dérivées directionnelles), \(\forall t \in\) \([0,1], g'(t)= \langle h,\nabla (f)(a)(t)\rangle\)=\(\langle h, 0\rangle\)=\(0\), car \(a\) est un point critique.
On a aussi, d’après le cours, \(\forall t \in\) \([0,1], g^{(2)}(t)=q_{a+th}(h)\).
Alors, selon la formule de Taylor-Lagrange avec reste intégral :
\(g(1)=g(0)+ g'(0) +\displaystyle \int_{0}^{1} g^{(2)}(t) \,
\mathrm{d}t\)
Après avoir remplacé, il reste :
\(f(a+h)=f(a)+
\displaystyle \int_{0}^{1} q_{a+th}(h) \,
\mathrm{d}t\)
et donc :
\(f(a+h)-f(a)=
\displaystyle \int_{0}^{1} q_{a+th}(h) \,
\mathrm{d}t\).
Tu peux alors déterminer facilement le signe de \(f(a+h)-f(a)\), en utilisant la croissance de l’intégration. Par exemple, dans le cas où la forme quadratique associée à la hessienne de \(f\) en \(x\) notée est positive pour tout \(x\) de \(\Omega\), on a en particulier \(\forall t \in [0,1], q_{a+th}(h)\ge0\), donc par croissance de l’intégration comme \(0\le1\),
\(\displaystyle \int_{0}^{1} q_{a+th}(h) \,
\mathrm{d}t \ge0\).
Ainsi, \(\forall h \in \mathbb{R}^{n} | a+h \in \Omega\), \(f(a+h)-f(a)\ge0\), soit \(f(a)\le(a+h)\) et donc finalement \(f\) présente un minimum global en \(a\).
Optimisation sur un fermé borné
Pas de méthode universelle…
Considérons désormais que \(\Omega\) est un fermé borné de \(\mathbb{R}^{n}\). L’optimisation sur un fermé est beaucoup plus rare, et malheureusement, la méthode précédemment citée ne fonctionne plus. Il est donc un peu plus difficile de trouver les extremums. En revanche, contrairement à l’optimisation sur un ouvert, on sait directement que ces extremums existent dès lors que la fonction \(f\) est \(C^0\) sur \(\Omega\).
En effet, d’après le cours, une fonction continue sur un fermé borné de \(\mathbb{R}^{n}\) est bornée et atteint ses bornes, ce qui signifie qu’elle possède un minimum et un maximum.
Il n’existe pas de méthode universelle pour trouver ces extremums sur un fermé, tu seras donc guidé.e par le sujet. Dans ce cas, les méthodes peuvent être plus difficiles et demander un peu d’intuition et de créativité.
Par exemple, dans la question 3 de la partie 2 du sujet HEC 2000 Maths 1, dont tu pourras trouver l’énoncé ici, la méthode utilisée par le concepteur est – en s’appuyant sur un schéma – de ramener la partie fermée bornée à un ouvert en excluant le « bord ». On montre ensuite que les extremums ne peuvent pas être atteints sur cette partie ouverte, car la fonction n’y a pas de points critiques, et donc que les extremums sont forcément sur le bord. Il ne reste plus qu’à paramétriser le bord et à calculer les valeurs de la fonction en ses points pour trouver les extremums. Un peu compliqué…
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