La fonction arctan tombe très fréquemment dans les sujets de concours. Étudions alors ses principales propriétés ! Les questions mises en avant dans cet article sont très classiques et les réponses sont à connaître sur le bout des doigts.
Petit zoom sur la fonction arctan
En mathématiques, l’arc tangente d’un nombre réel est la valeur d’un angle orienté dont la tangente vaut ce nombre. On rappelle que la fonction arctan :
- est la fonction réciproque de la restriction à l’intervalle ouvert \(\displaystyle]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}[\) de la fonction \(tan\) ;
- est de classe \(C^{\infty}\) sur \(\mathbb{R}\) ;
- admet pour dérivée la fonction \(\displaystyle x \mapsto \frac{1}{1+x^{2}}\) pour tout \(x\) ∈ \(\mathbb{R}\) ;
- réalise une bijection de \(\mathbb{R}\) sur \(\displaystyle ]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}[\) de la fonction \(tan\), c’est-à-dire que : \(y\) = \(\arctan(x)\) \(\Leftrightarrow\) \(\tan(y)\) = \(x\) et \(y\) \(\in\) \(\displaystyle ]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}[\).
Pour finir, voici l’allure de sa courbe :
Quelques valeurs classiques à connaître
Les limites
Nous avons :
- \( \lim \limits_{x \to +\infty}\)\(\arctan(x)\)=\(\displaystyle\frac{\pi}{2}\)
- \(\displaystyle \lim \limits_{x \to -\infty}\)\(\arctan(x)\)=\(\displaystyle -\frac{\pi}{2}\)
Les asymptotes
La fonction possède deux asymptotes horizontales :
- \( \displaystyle y = -\frac{\pi}{2} \; \text{en} \; -\infty \)
- \(\displaystyle y = \frac{\pi}{2} \; \text{en} \; \infty \)
Les valeurs
- \(\arctan(0)\)=0
- \(\displaystyle \arctan(1)\)=\(\frac{\pi}{4}\)
L’imparité de la fonction arctan
La fonction \(arctan\) est impaire, c’est-à-dire que pour tout \(x ∈ \mathbb{R}, \arctan(-x)=-\arctan(x)\).
Démonstration
Parfois, comme dans ESSEC 2013 maths approfondies, un sujet pourrait te demander de justifier que la fonction \(arctan\) est impaire. Voyons alors la démonstration :
- Si la question est située dans un sujet de Parisiennes ou dans un oral, tu peux simplement répondre que la bijection réciproque d’une fonction impaire (qu’est la fonction \(\tan\)) est impaire.
- Si l’énoncé semble attendre une preuve, il faut alors redémontrer ce résultat de cours :
l’ensemble de définition de la fonction \(arctan\) est \(\mathbb{R}\), ensemble qui est bien centré en zéro.
De plus, \(\forall\) \(x\) ∈ \(\mathbb{R}\) et \(y = arctan(x)\). On a alors \(\tan(x)\) = \(y\) avec \(y\) ∈ \(\displaystyle ]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}[\) . La fonction tangente étant impaire, on a finalement : \(\tan(-y)\) = \(-\tan(y)\) = \(-x\), d’où \(arctan(-x)\) = \(-y\) = \(-arctan(x)\). On en conclut que la fonction \(arctan\) est impaire.
Développement limité et équivalent
Tu seras sûrement amené(e) à calculer le développement limité de la fonction \(arctan\) (au maximum à l’ordre 3), ou bien à lui trouver un équivalent. Voici donc les démonstrations.
Développement limité à l’ordre 3 au voisinage de zéro
Justifions tout d’abord que ce développement limité existe. La fonction \(arctan\) est de classe \(C^3\), puisque sa dérivée est \(C^2\). Donc, par la formule de Taylor-Young, elle admet un développement limité à l’ordre 3 au voisinage de zéro.
Or, on a :
- \(\displaystyle \arctan'(x)\)=\(\displaystyle \frac{1}{1+x^{2}}\)
- \(\displaystyle \arctan^{(2)}(x)\)=\(\displaystyle -\frac{2x}{(1+x^{2})^{2}}\)
- \(\displaystyle \arctan^{(3)}(x)\)=\(\displaystyle \frac{-2(1+x^{2})^{2}+8x(1+x^{2})}{(1+x^{2})^{2}}\)
Et donc, le développement limité d’ordre 3 de \(arctan\) au voisinage de zéro est :
\(
\begin{align}
\arctan(x)&= \displaystyle \arctan(0)+\arctan'(0)x+\arctan^{(2)}(0)\frac{x^{2}}{2}+\arctan^{(3)}(0)\frac{x^{3}}{3!}+o(x^{3})\\
&= \displaystyle x-\frac{2}{6}x^{3}+o (x^{3})\\
\end{align}\)
D’où :
\[ \fbox{\( \displaystyle arctan(x)=x-\frac{2}{6}x^{3}+o (x^{3})\)}\]
Équivalent en zéro
On déduit du développement limité que \(\arctan(x)\underset{{0}}{\sim}x\).
Encadrement classique
Montrons que \(0 \le arctan(x) \le x ,\forall x ∈ \mathbb{R}^{+}\)
Méthode 1
La dérivée de \(arctan\) est négative sur \(\mathbb{R}^{+}\), donc \(arctan\) est concave sur \(\mathbb{R}^{+}\). Elle est donc située en dessous de ses tangentes. Or, la tangente de \(arctan(x)\) en 0 est la droite d’équation \(y=x\), et donc \(\forall x ∈ \mathbb{R}^{+}, \arctan(x)≤x\).
D’autre part, \(arctan\) est croissante sur \(\mathbb{R}\) et \(arctan(0)=0\), donc \(\forall x ∈ \mathbb{R}^{+}, 0≤\arctan(x)\).
Méthode 2
\(\forall t ∈ \mathbb{R}^{+},0 \le \displaystyle \frac{1}{1+t^{2}} \le 1\)
Donc, par croissance de l’intégrale :
\( \displaystyle \forall x \in \mathbb{R}^{+}\), on a \(0 \le \displaystyle \int_{0}^{x}\frac{1}{1+t^{2}} \,
\mathrm{d}t \le \displaystyle \int_{0}^{x} 1\) =\(x\)
D’où : \(0 \le \arctan(x)-\arctan(0)\le x \Leftrightarrow 0 \le \arctan(x)\le x\)
Montrons que \(\forall x ∈ \mathbb{R}, |\arctan(x)|≤ \displaystyle \frac{1}{1+x^{2}}\)
On sait que :
- \(arctan'(x)\)=\(\displaystyle \frac{1}{1+x^{2}}\)
- \(arctan^{(2)}(x)\)=\( \displaystyle -\frac{2|x|}{(1+x^{2})^{2}}\)
Donc, \(|arctan^{(2)}(x)|\)=\(\displaystyle \frac{2|x|}{(1+|x|^{2})^{2}}\)
Or, \(\forall x ∈ \mathbb{R}, (1-x)^2 ≥ 0 \Leftrightarrow 1-2x+x^{2} ≥ 0 \Leftrightarrow 2x ≤ 1+x^{2}\)
En particulier, on a \(2|x|≤ 1+|x|^{2}\), donc, en divisant par \(1+|x|^{2}\), on a \( 0 \le \displaystyle \frac{2|x|}{(1+|x|^{2})^{2}}\le 1\)
Finalement, en multipliant les membres de l’inégalité par \(1+x^{2}\), on a \(|arctan^{\prime \prime}(x)|≤ \displaystyle \frac{1}{1+x^{2}}\)
Égalité classique
Montrons que \(\forall x ∈ \mathbb{R}_{+}^{*},\arctan(x)+\arctan(\frac{1}{x})=\frac{\pi}{2}\)
Soit \(g\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}_{+}^{*}\) par \(g(x)=\arctan(x)+\arctan(\frac{1}{x})\). Alors \(g\) est dérivable sur \(\mathbb{R}_{+}^{*}\) par somme de fonctions dérivables, et on a :
\(\forall x ∈ \mathbb{R}_{+}^{*}, g'(x)= \displaystyle \frac{1}{1+x^{2}}-\frac{1}{x^{2}}\frac{1}{1+\frac{1}{x^{2}}}= \frac{1}{1+x^{2}}-\frac{1}{1+x^{2}}=0\)
Donc, \(g\) est constante sur \(\mathbb{R}_{+}^{*}\).
Or, nous avons \(\displaystyle g(1)=2\arctan(1)=2\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}\)
Finalement, \(\forall x ∈ \mathbb{R}_{+}^{*}, g(x)=g(1)=\frac{\pi}{2}\) et on a \(\displaystyle \arctan(x)+\arctan(\frac{1}{x})=\frac{\pi}{2}\)
À noter : de la même manière, \(\forall x ∈ \mathbb{R}_{-}^{*}, \arctan(x)+\arctan( \displaystyle \frac{1}{x})=\displaystyle -\frac{\pi}{2}\)
J’espère que cet article t’aura été utile. Tu maîtrises maintenant la fonction \(\arctan\) sur le bout des doigts !
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