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L’analyse du sujet Maths appliquées EDHEC 2025
Exercice 1 :
Cet exercice met en œuvre des outils fondamentaux d’analyse : fonctions définies par intégrales, étude des variations, suites de fonctions et convergence. La première partie est classique, mais importante pour poser les bonnes bases. La suite combine récursivité, bornes, asymptotiques et théorèmes de convergence. La difficulté est progressive : les premières questions doivent être bien maîtrisées par tous les étudiants, tandis que la 3 et surtout la 4 demandent une certaine maturité analytique. Un excellent exercice pour tester la rigueur et la maîtrise des suites définies implicitement.
La question 1 est un grand classique. Les points sont faciles à prendre ici. Dans la question 1a, on applique une dérivation sous le signe intégral. La dérivée obtenue est \( f^x{}'(t) = (1 – t)^x \), strictement positive sur \( [0, 1[ \), ce qui suffit pour conclure que la fonction est strictement croissante. La question suivante s’appuie directement sur la croissance prouvée précédemment. Le TVI assure l’existence d’un unique point fixe. Enfin, concernant la question 1c, on demande une évaluation explicite de \( u_x \) dans un cas particulier. Il faut poser \( x = 1 \) dans l’expression de \( f_x(t) \), calculer l’intégrale
\( f_1(t) = \int_0^t (1 – u)\, du \), puis résoudre \( f_1(t) = t \)
La question 2 reste également simple. Pour la 2a, il faut remarquer que \( f_{n+1}(x) = \int_0^x (1 – u)^n \, du \), ce qui permet d’exprimer chaque fonction comme une primitive en fonction du rang. Puis, pour la 2b, on peut majorer \( (1 – u)^n \leq 1 \) sur \( [0, 1] \), ce qui permet d’encadrer l’intégrale par
\( \int_0^x 1 \, du = x \quad \text{si} \quad x \leq 1 \). L’idée est simple, mais importante pour comprendre poser les bornes nécessaires à l’étude de la convergence de la suite. Pour la 2c, on utilise la croissance des \( f_n \) en \( n \) : plus \( n \) est grand, plus la fonction \( (1 – u)^n \)est “pointée” vers 0, donc \( f_n \) est plus petite, ce qui entraîne que le point fixe se déplace vers la gauche. De plus on utilise que\( f_n(u_{n+1}) \leq f_n(u_n) = u_n \) pour conclure \( u_{n+1} \leq u_n \). Enfin, pour la 2d, la suite étant décroissante et bornée inférieurement (par 0), elle est convergente d’après le théorème de la convergence monotone.
La question 3 est légèrement plus difficile. Dans la question 3a, on demande de rappeler la formule de la somme des puissances géométriques pondérées. Mais ici, on cherche la somme \( \sum_{k=0}^n k x^k \), ce qui est un classique. On l’obtient en dérivant la somme d’une suite géométrique par rapport à \( x \). Cette manipulation est standard mais nécessite d’être bien maîtrisée. La 3b repose sur la question précédente. La formule à déduire est à connaître ou à savoir retrouver via dérivation. Enfin pour la question 3c, on demande ici une expression explicite de \( f_n(x) = \sum_{k=0}^n k x^k \), sans le symbole somme. On réutilise donc directement le résultat de la question précédente pour \( x \in [0, 1[ \). Cela permet de manipuler \( f_n(x) \) comme une fonction classique, utile pour les comparaisons et encadrements.
La question 4 est de difficulté moyenne. Dans un premier temps, il faut donc résoudre l’équation en remplaçant \( f_n(x) \) par l’expression obtenue. Une fois \( u_n \) identifié comme racine, on peut remarquer que si \( n \geq 2 \), alors \( u_n \leq 12 \). Cela repose sur le fait que \( f_n(12) \geq 1 \) ce qui place \( u_n \leq 12 \) puisque \( f_n \) est croissante. Pour la 4b, on montre par théorème d’encadrement que la suite tend vers 0. Il faut utiliser des arguments asymptotiques plus fins : par exemple, ce qui suggère que nun tende vers 0 également. On revient ici à l’équation définissant \( u_n \) et on dérive une relation de récurrence : \( u_n^2 – 3u_n + 1 = n u_n^{n+1} – (n+1) u_n^n \) Cette étape demande de combiner la forme explicite de \( f_n(x) \) avec le fait que \( f_n(u_n) = 1 \). Pour terminer, si la suite nunnnunn admet une limite, les termes de droite dans la récurrence précédente vont s’annuler asymptotiquement, et l’on trouve que \( \ell = 0 \), confirmant que cette quantité tend vers zéro.
Exercice 2 :
Cet exercice mêle algèbre linéaire classique et utilisation de Python. Il explore un sous-espace de matrices définies par deux paramètres réels, en étudiant ses propriétés algébriques, sa base, ses inversibles, et la puissance de l’outil Python pour en illustrer les comportements. L’exercice est globalement accessible, les seules difficultés sont quelques calculs de déterminants ou systèmes linéaires un peu longs, mais sans piège conceptuel.
Dans la question 1a, on demande de montrer que l’ensemble \( E \) des matrices \( M(a, b) \) forme un sous-espace vectoriel. Il suffit de vérifier que les combinaisons linéaires de matrices de la forme donnée restent dans la même forme, ce qui se fait en quelques lignes. Dans la question 1b, on construit une base de cet espace. On peut naturellement proposer \( M(1, 0) \) et \( M(0, 1) \), puis vérifier leur indépendance. C’est une question très classique sur les espaces vectoriels paramétrés.
Dans la question 2, il s’agit de déterminer les couples \( (a, b) \) tels que la matrice \( M(a, b) \) n’est pas inversible. Cela doit se faire sans calcul ; c’est donc rapidement trouvable.
Dans la question 3, on demande d’écrire la matrice identité comme combinaison linéaire des matrices de base. Cela revient à résoudre un petit système d’équations, obtenu en identifiant chaque coefficient. Pas de difficulté particulière, mais il faut rester organisé.
La question 4 est purement technique : on programme une fonction Python \( M(a, b) \) qui retourne la matrice correspondante. C’est très simple avec NumPy si on a un peu de pratique.
Pour la 5a, il s’agit ici simplement d’observer que la matrice \( D \), diagonale, construite à la question 2 est semblable à \( A \), ce qui implique qu’elles ont les mêmes valeurs propres. Comme \( D \) est diagonale avec des entrées évidentes (notamment 5), on peut conclure que \( A \) possède 5 comme valeur propre. La question est simple et factuelle, sans calcul. Dans la question 5b, on nous demande de montrer que \( A – 5I A – 5 I \) et \( A – 5I A – 5 I \) ne sont pas inversibles. Cela revient à dire que 5 et –4 sont des valeurs propres de \( A \), puisque \( A – \lambda I \) est non inversible si et seulement si \( \lambda \) est valeur propre. Ainsi, on identifie deux nouvelles valeurs propres : 5 et –4. Cela complète partiellement le spectre de \( A \) . Dans la question 5c, le détail demandé (prendre des vecteurs de première composante égale à 1) est classique dans les notations de changement de base. On résout donc successivement \( (A – \lambda I)X = 0 \) pour chaque valeur propre \( \lambda \), et on ajuste les représentants pour avoir des vecteurs bien normalisés. C’est un peu plus technique que les questions précédentes, mais très standard comme exercice de diagonalisation.
Dans la question 6, on exploite du code Python pour observer ce que renvoie la fonction matrix_power. L’idée est d’utiliser ces puissances pour retrouver des coefficients \( \alpha, \beta \) dans des décompositions, en comparant les matrices obtenues.
Dans la question 7a, on vérifie que les vecteurs \( U, V, W \) sont orthogonaux deux à deux. Il s’agit de simples produits scalaires entre colonnes, qui doivent être nuls. Exercice standard sur l’orthogonalité. Dans la question 7b, on considère les puissances \( M_n \) et on observe la stabilité des colonnes. L’exercice suggère une convergence vers une direction propre, mais reste au niveau observationnel. Cela peut faire le lien avec des notions de diagonalisation ou de valeur propre dominante. Enfin, dans la question 7c, on demande de remarquer que les puissances de \( E \) restent dans le même espace \( E \), c’est-à-dire qu’on peut toujours écrire \( M_n = M(a_n, b_n) \). C’est une jolie propriété de stabilité d’un sous-espace par multiplication matricielle, mise en évidence ici grâce à Python.
Exercice 3
Cet exercice explore une suite de densités \( f_n \), puis une suite de variables aléatoires \( X_n \) associées. L’objectif est d’étudier leur convergence en loi, en espérance, et d’établir un lien avec une autre variable construite via le minimum de lois uniformes. L’exercice reste abordable, mais nécessite une bonne maîtrise du calcul d’espérances, des densités, et des fonctions de répartition. Les questions sont globalement progressives, mais certaines manipulations comme celle du logarithme en 4c peuvent piéger.
Dans la question 1, on vérifie que \( f_n \) est bien une densité. C’est un exercice de base en intégration : il faut simplement intégrer \( f_n(x) \) sur \( [0, n] \), et constater que l’intégrale vaut 1. C’est très classique, et les points sont faciles à prendre ici.
Dans la question 2a, on demande de montrer que certaines espérances existent et de les exprimer en fonction de \( n \). Il s’agit simplement de calculer l’espérance à partir de la densité \( f_n \), ce qui donne lieu à des intégrales polynomiales élémentaires. Dans la question 2b, on en déduit l’espérance et la variance de \( X_n \). Il suffit de réinjecter les résultats obtenus en 2a en développant correctement. Les résultats restent simples, et on obtient des formules explicites classiques pour une densité polynomiale décroissante.
Dans la question 3, on calcule la fonction de répartition \( F_n \) de \( X_n \). Il faut intégrer \( f_n \) sur l’intervalle \( [0, x] \), et on obtient une expression qui prépare bien la suite.
Dans la question 4a, on cherche la limite de \( F_n \) pour \( x < 0 \). Comme le support de la densité est \( [0, n] \), la densité est nulle pour \( x < 0 \), donc la fonction de répartition vaut 0. C’est immédiat. Dans la question 4b, on montre que pour \( x > 0 \), \( F_n(x) = 1 – (1 – x^n)^n \). C’est une reformulation directe de l’intégrale précédente, à condition que \( x \leq n \), ce qui est assuré ici. Dans la question 4c, on évalue \( \lim_{n \to \infty} n \ln(1 – x^n) \) pour \( x > 0 \). Cela fait apparaître un logarithme bien connu, et donne \( -x \), par développement limité de \( \ln(1 – x^n) \). Ce passage est central pour la convergence en loi. Dans la question 4d, on en déduit que \( X_n \) converge en loi vers une variable aléatoire \( X \), dont on reconnaît la fonction de répartition : celle d’une loi exponentielle. C’est une très belle conclusion de convergence.
Dans la question 5a, on considère des variables uniformes \( U_1, \dots, U_n \), et on rappelle la fonction de répartition du minimum \( M \). On se sert du fait que \( P(M > x) = P(U_1 > x)^n = (1 – x)^n \), donc \( G(x) = 1 – (1 – x)^n \) pour \( x \in [0, 1] \). Dans la question 5b, on calcule \( P(Z_n > x) \) avec \( Z_n = nM \), ce qui donne \( P(M > \frac{x}{n}) = (1 – x^n)^n \). On reconnaît à nouveau l’expression déjà obtenue pour \( X_n \). Dans la question 5c, on conclut que \( Z_n \) suit la même loi que \( X_n \), car ils ont exactement la même fonction de répartition. C’est une identification classique. Enfin, dans la question 5d, on écrit une fonction Python pour simuler une réalisation de \( X_n \). Il suffit de générer n uniformes, de prendre le minimum et de le multiplier par \( n \), ce qui donne \( Z_n \) – donc une simulation de \( X_n \).
Problème
On étudie une expérience aléatoire où l’on choisit une urne au hasard parmi \( n + 1 \), puis on tire des boules jusqu’à obtenir une blanche. Le nombre de tirages nécessaires, \( X_n \), est la variable étudiée. Le problème explore sa loi, son espérance, et son comportement asymptotique. Il mêle probabilités discrètes, calculs combinatoires et analyse. La difficulté est progressive, allant d’exercices classiques à des questions plus techniques en fin de sujet.
Dans la question 1, on demande de déterminer la loi de \( P(U_k) \), c’est-à-dire la probabilité de choisir l’urne numéro \( k \). Il s’agit d’une application directe de la loi uniforme sur \( \{ x \in \mathbb{N} \mid 1 \leq x \leq n+1 \} \), donc on en déduit \( P(U_k) \). C’est une question de base.
Dans la question 2, on demande de compléter une fonction Python qui simule le choix d’une urne au hasard et renvoie le nombre de tirages jusqu’à obtenir une boule blanche. L’idée est de tirer un entier entre 1 et \( n + 1 \), puis simuler un tirage géométrique. C’est une question d’application Python simple.
Dans la question 3a, on détermine la loi de \( X_n \) conditionnellement à l’événement \( U_k \). On sait que l’urne \( k \) contient \( k -1 \) boules noires et 1 blanche, donc \( X_n \) suit une géométrique Question standard de conditionnement. Dans la question 3b, il s’agit de compléter la fonction Python en intégrant la simulation géométrique avec le bon paramètre. Il faut utiliser rd.geometric(1/k). C’est une simple traduction d’un fait probabiliste en code.
Dans la question 4a, on cherche \( P(X_n = 1) \). Il faut sommer sur tous les \( k \in [1, n+1] \) la probabilité que \( X_n = 1 \) sachant \( U_k \), pondérée par \( P(U_k) \). On obtient donc : \( P(X_n = 1) \). Ce calcul est ensuite utilisé dans la question 4c pour montrer que cette somme vaut 12. Question assez classique, qui peut être résolue avec des observations numériques ou par une somme harmonique connue. Dans la question 4b, on explicite \( P(X_n = 1 \mid U_k) \) pour \( k \in [1, n] \) et pour \( k = n + 1 \), ce qui donne 1. Question directe liée à 3a. Dans la question 4c, il faut transformer la somme obtenue en 4a. C’est une question intermédiaire qui nécessite une petite astuce (par exemple une manipulation connue des harmoniques).
Dans la question 5a, on calcule \( P(U_{n+1}(X_n = j)) \), donc la probabilité que la première boule blanche soit tirée au j-ième essai en supposant que l’urne choisie est la dernière, qui contient uniquement des blanches. Le résultat est donc \( P(X_n = j \mid U_{n+1}) = 0 \) pour \( j > 1 \) et 1 pour \( j = 1 \). Dans la question 5b, pour \( k \in [1, n] \), on utilise la loi géométrique pour écrire \( P(X_n = j \mid U_k) \). C’est une application directe de la loi géométrique. Dans la question 5c, on utilise les résultats précédents pour écrire : \( P(X_n = j) \). C’est une reformulation propre de la loi de \( X_n \). Question de mise en forme.
Dans la question 6a, on vous donne une expression à justifier qui s’obtient en identifiant une espérance d’une variable géométrique (espérance d’un produit). Il faut connaître la formule de l’espérance ou utiliser une somme classique sur les séries géométriques. Dans la question 6b, on calcule \( P(X_n \geq 2) \). C’est une conséquence directe de 4c.
Dans la question 7a, on exprime \( P(X_n = 0) \), ce qui n’a pas de sens ici car \( X_n \geq 1 \) toujours. On déduit donc que \( P(X_n = 0) = 0 \). L’objectif est plutôt de faire une analogie avec des formules précédentes. Résultat sans calcul. Dans la question 7b, on pose la question de savoir si le résultat de 6b pouvait être anticipé. Oui, en observant que la probabilité de tomber sur l’urne sans boules noires donc les autres urnes induisent une somme qui s’équilibre.
Dans la question 8a, on vous demande de montrer que \( X_n \) a une espérance. Il faut partir de l’expression de la loi complète obtenue en 5c et calculer l’espérance en sommant. Question longue mais standard. Dans la question 8b, on complète un script Python pour calculer \( \mathbb{E}(X_n) \). Il faut traduire la formule précédente dans NumPy. Cela reste accessible.
Dans la question 9a, on montre que pour tout entier, on a des inégalités classiques issues de la convexité de la fonction (encadrement d’intégrale). Très classique. Dans la question 9b, on en déduit un encadrement de la somme harmonique. Ici on ne demande pas la constante d’Euler, mais simplement un encadrement par des intégrales. Cela permet d’encadrer l’espérance de \( X_n \) . Dans la question 9c, on conclut l’encadrement qui est une majoration très classique. Enfin, dans la question 9d, on utilise cet encadrement pour estimer un équivalent de \( \mathbb{E}(X_n) \) pour n grand. Cela se termine assez bien avec une question de synthèse classique.
Bon courage pour la suite des épreuves.
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