Bien qu’incontournable en ESH, la fonction de Cobb-Douglas ne figure pas dans le programme de mathématiques en prépa ECG. Toutefois, elle mérite d’être étudiée, car elle est déjà tombée plusieurs fois dans des annales HEC/ESSEC en maths appliquées. Son application à la fonction de production en fait l’un des modèles économiques les plus utilisés. En effet, ses propriétés mathématiques et économiques permettent de simplifier grandement l’analyse de la production.
La fonction de Cobb-Douglas est une notion hors programme aux maths ECG. Cet article s’adresse aux mathématiques appliquées, car elle n’est jamais tombée en maths approfondies (mais elle le pourrait ?).
La fonction de Cobb-Douglas en économie
Le principal intérêt de la fonction de Cobb-Douglas est de modéliser la relation entre la production et les facteurs de production. Elle permet ainsi d’estimer l’effet d’une augmentation de l’emploi, des investissements en capital ou des nouvelles technologies sur le PIB d’un pays.
La fonction de production de Cobb-Douglas a été développée en 1928 par l’économiste américain Paul Douglas qui voulait mieux comprendre comment les changements dans les quantités de travail et de capital affectaient le niveau de la production industrielle. En collaborant avec le mathématicien Charles Cobb, ils ont conçu une formule mathématique qui reliait ces variables de manière simple et flexible.
Ils proposent de retenir comme fonction de production agrégée pour l’économie américaine l’expression suivante :
\[ Y = A.{L}^{\alpha}.{K}^{\beta} \]
Avec :
\( Y \) la quantité totale produite
\( L \) la quantité de travail
\( K \) la quantité de capital
\( A \) la productivité globale des facteurs, c’est-à-dire un facteur d’efficacité technologique.
On peut considérer que \( A \) est le « résidu de Solow » dans le cadre de la théorie de la croissance. Chez Robert Solow, en effet, \( A \) représente la partie de la croissance économique qui ne pouvait pas être attribuée aux augmentations de capital ou de travail. Grossièrement, \( A \) peut symboliser la mesure du progrès technique et/ou de l’innovation.
\( \alpha \) et \( \beta \) sont des paramètres compris entre 0 et 1 représentant respectivement les élasticités de la production par rapport au travail et au capital.
N.B. Une élasticité est un rapport entre deux taux de variation qui mesure la sensibilité d’une variable par rapport à une autre. Par exemple, si on s’intéresse à \( \alpha \), l’élasticité de la production par rapport au travail, on se demande comment la production réagit à une variation de la quantité de travail utilisée (souvent mesurée en nombre d’heures travaillées). Autrement dit, \( \alpha \) permet de mesurer l’efficacité du facteur travail dans la production.
Exemple : si après une augmentation de 1 % du travail \( L \) (tout en maintenant le capital \( K \) constant), \( \alpha = 0,4 \), cela signifie qu’une augmentation de 1 % de \( L \) entraînera une augmentation de 0,4 % de la production. De manière générale :
-
-
- Si \( \alpha = 0 \), alors la variation à la baisse comme à la hausse de \( L \) n’a aucun effet sur \( Y \)
- Si \( \alpha = 1 \), alors la variation de \( Y \) est proportionnelle à celle de \( L \)
- Si \( \alpha > 1 \), alors la variation de \( Y \) est plus que proportionnelle à celle de \( L \)
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À partir de leurs données, Cobb et Douglas avaient déterminé que la valeur de \( \alpha \) était de 0,75, ce qui signifie que dans les années 1920, 75 % de la valeur de la production industrielle américaine s’expliquait par le travail.
La forme mathématique de la fonction de Cobb-Douglas
La formule générale
\[ \forall n \in \mathbb{N}^{*}, f({x_1},…,{x_n}) = \lambda. \displaystyle \prod_{i=1}^{n} {x_i}^{a_i} \]
Avec \( \lambda \) une constante telle que \( \lambda > 0 \) et \( {a_i} \) des nombres réels tels que \( 0 < {a_i} < 1 \)
La formule à deux variables
Bien que la forme générale de la fonction Cobb-Douglas puisse sembler intimidante au premier abord, il est rassurant de savoir que, dans les sujets des concours, cette fonction apparaît souvent sous une forme beaucoup plus accessible à deux variables.
Cela est dû au fait que, dans leur modèle original, Paul Douglas et Charles Cobb ont utilisé cette fonction afin d’analyser l’importance relative de deux facteurs de production, soit le capital et le travail, dans la production industrielle.
Les sujets de concours qui ont abordé cette fonction se sont donc relativement limités à seulement deux variables. Dans un sujet de concours, tu retrouveras donc plutôt cette fonction sous la forme suivante :
\[ f(x,y) =\lambda.{x}^{a}.{y}^{b} \]
Avec \( \lambda \) une constante telle que \( \lambda > 0 \) et \( {a} \) et \( {b} \) des nombres réels tels que \( 0 < {a} < 1 \) et \( 0 < {b} < 1 \)
Tip 1 : pour étudier cette fonction à deux variables, il peut être utile d’utiliser sa forme linéarisée (à condition d’assurer que \( {x} > 0 \) et \( {y} > 0 \) !). En notant \( {z} = f(x,y) \) tel que \( {z} > 0 \) :
\[ \ln(z) = \ln(\lambda) + a.\ln(x) + b.\ln(y) \]
Tip 2 : on peut également te demander d’interpréter économiquement les paramètres \( {a} \) et \( {b} \) par rapport à 1. Tu dois alors étudier leur somme, car elle permet d’indiquer des rendements d’échelle. C’est-à-dire qu’on s’intéresse à l’évolution de la production quand on augmente le facteur travail et le facteur capital (ils se différencient des rendements factoriels qui étudient l’évolution de la production quand on augmente un seul facteur).
- Si \( {a} + {b} > 1 \), les rendements d’échelle sont dits « croissants »
- Si \( {a} + {b} < 1 \), ils sont « décroissants »
Cas particulier : si \( {a} + {b} = 1 \), la fonction devient alors : \[ f(x,y) =\lambda.{x}^{a}.{y}^{1 – a} \]
Dans ce cas, les rendements d’échelle sont dits « constants », c’est-à-dire que si l’entreprise augmente dans une proportion \( p \) à la fois le travail et le capital, la quantité totale produite augmentera également dans une proportion \( p \). C’est l’hypothèse initiale qui avait été choisie par Paul Douglas et Charles Cobb. Mathématiquement, on dit que la fonction est homogène de degré 1.
Homogénéité : une fonction est homogène de degré \( n \) si \( f(\lambda.x,\lambda.y) = {\lambda}^{n}.f(x,y) \). Ainsi, de manière générale :
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- Si \( n = 1 \), les rendements sont constants
- Si \( n > 1 \), les rendements sont croissants
- Si \( n < 1 \), les rendements sont décroissants
Pour en savoir plus sur la fonction de Cobb-Douglas, n’hésite pas à faire les annales suivantes : ESSEC ECE 2000 et HEC ECE 2016
Tu peux retrouver le méga-répertoire qui contient toutes les annales de concours et les corrigés. Tu peux également accéder à toutes nos autres ressources mathématiques !
